数学上什么是极值

在数学中，极值是指函数在某一点附近取到的最大值或最小值。具体来说，以下是一些关于极值的基本概念：

1. 局部极值：如果函数在某一点 ( x_0 ) 的某个邻域内，对于所有 ( x ) 满足 ( x_0 delta < x < x_0 + delta )（其中 ( delta > 0 )），都有 ( f(x_0) geq f(x) ) 或 ( f(x_0) leq f(x) )，那么 ( f(x_0) ) 就是函数 ( f ) 在 ( x_0 ) 处的局部极大值或局部极小值。

2. 全局极值：如果函数在某个区间 ( I ) 内，对于所有 ( x in I )，都有 ( f(x_0) geq f(x) ) 或 ( f(x_0) leq f(x) )，那么 ( f(x_0) ) 就是函数 ( f ) 在区间 ( I ) 内的全局极大值或全局极小值。

3. 极值点：函数取得极值的点称为极值点。

4. 驻点：如果函数在某点 ( x_0 ) 的导数 ( f'(x_0) = 0 )，那么 ( x_0 ) 是函数的驻点。驻点可能是极值点，也可能不是。

5. 拐点：如果函数在某点 ( x_0 ) 的二阶导数 ( f''(x_0) = 0 )，那么 ( x_0 ) 是函数的拐点。拐点可能是极值点，也可能不是。

6. 边界点：在闭区间上的函数，其极值可能出现在区间的边界点。

极值在数学分析、优化理论、物理学等领域都有广泛的应用。在求解极值问题时，通常需要使用微分学的方法，如求导、求二阶导数等。